Loading......

　　本书根据我多年来在纽约大学柯朗数学研究所教授二年级研究生泛函分析课 程的讲义撰写而成. 它不是论文集也不是专论, 而是一本研究生教材. 书中大多数 章节都短小精辟, 为的是易于读者消化所学内容. 当然并非所有内容都可以用简短 的语言描述出来, 因此有些章节相对较长. 在每章中, 定理、引理和方程都是按照 顺序连续标号的.
　　前 23 章的内容对读者的要求不是很高, 是很好的研究生阶段泛函分析入门课 程的教材. 余下的内容可以用于研究生泛函分析或者 Hilbert 空间理论高级课程的 教学.　　当我还是个学生的时候, 当时仅有的泛函分析教材就是 Banach 在 1932 年所 写的那本最早的经典教材; Hille 所著的书直到我毕业的时候才面世, 像是给我的毕 业礼物. 有关 Hilbert 空间理论的教材, 有 Stone 于 1932 年出版的 Colloquium 和 Sz.-Nagy 的 Ergebnisse. 从那以后, 泛函分析的书籍越来越多, 先是出现了 Riesz 和 Sz.-Nagy、Dunford 和 Schwartz 以及 Yosida 所著的书; 后来又出现了 Reed 和 Simon 以及 Rudin 的书. 对于 Hilbert 空间理论, 出现了 Halmos 的优美而又简明的 著作以及 Achiezer 和 Glazman 的教材, 我十分欣赏这些书, 它们让我受益匪浅. 此 后又出现了许许多多好的教材. 但是我相信, 本书还是给出了一些新东西：在内容 编排顺序上, 理论内容之后紧跟具体的应用, 这使得抽象的内容变得有血有肉; 同 时, 书中还包含了可以用泛函分析的观点澄清和解决的非常丰富的数学问题. 在选择论题时, 我听从了我的老师 Friedrichs 的警告：“如果你想把所知道的有 关某论题的全部内容都放进去, 那么写一本书是很容易的.”本书给出了泛函分析的 基本内容以及数学中一些不可缺少的深刻论题, 比如自伴算子的谱分解和谱表示、 紧算子理论、Krein-Milman 定理、Gelfand 的交换 Banach 代数理论、不变子空间、 强连续单参数半群. 本书还涉及对于计算拓扑不变量十分重要的算子的指标, 强有 力的分析工具 Lidskii 迹公式, 沉睡近百年的 Fredholm 行列式及其推广, 还有源自 物理的散射理论. 与此同时, 本书还包括了一些 (但不是全部) 与我的研究很接近的 特殊论题.
那么, 哪些内容被省略了呢？非线性泛函分析, 为此我推荐 Zeidler 的四卷本专 著. 除 Gelfand 的交换 Banach 代数理论以外的算子代数理论, 还有 Banach 空间几 何理论, 让人高兴的是, 由 Bill Johnson 和 Joram Lindenstrauss 编著的有关此论题 的一本手册已经由 North Holland 出版社出版.　　阅读本书需要哪些预备知识呢？每位二年级研究生以及许多本科生都应该了 解如下知识.
2 朴素集合论. 可数集, 连续统假设, Zorn 引理.
2 线性代数. 线性映射, 矩阵的迹和行列式, 矩阵和对称矩阵的谱理论, 矩阵函 数.
2 点集拓扑. 完备度量空间, Baire 纲原理, Hausdor. 空间, 紧集, Tychonov 定 理.
2 单复变函数的一般理论.
2 实分析. Arzela-Ascoli 定理, R 上测度的 Lebesgue 分解, 紧集上的 Borel 测 度.
　　历史上, 测度论比泛函分析出现得早. 测度论中的通常表述没有用到泛函分析 的概念和构造. 在关于 Riesz-Kakutani 表示定理的附录中, 本书说明了如何在测度 论中应用泛函分析的工具. 另一个附录总结了 Laurent Schwartz 的广义函数理论 的基本内容.
　　本书中的许多应用都是关于偏微分方程问题的. 在这里, 熟悉一点 Laplace 方 程和波动方程理论将会有所帮助, 对这些内容了解不多的读者也能够从这些应用中 学到一些基本知识. 像大多数数学家一样, 我也不是历史学家. 然而在某些章中, 我还是给出了一 些历史注记, 主要是在我有第一手资料时, 或者涉及 1930.1940 年欧洲恐怖时期许 多泛函分析鼻祖的悲惨命运的地方.
　　我要感谢许许多多的人. 从我的老师 Friedrichs 那里, 我学习了泛函分析的基 础以及如何应用它们. 后来, 我的观点受到 Tosio Kato 工作的影响, 他应用泛函分 析这一有力的工具解决了许多问题. 还有与 Ralph Phillips 的长期而又愉快的合作 给出了泛函分析中一些不寻常的应用. 从 Israel Gohberg 那里, 我学到了许多东西, 特别是 Toeplitz 算子的指标理论; 从 Bill Johnson 和 Bob Phelps 那里又分别学到了 Banach 空间的几何知识和 Choquet 定理. 感谢 Reuben Hersh 和 Louise Raphael, 他们对涉及广义函数的附录提出了意见; 感谢 Jerry Goldstein 对半群和散射理论的 内容提出的中肯建议. 我对上述所有人士以及 Gabor Francsics 表示衷心的感谢. Jerry Berkowitz 和我在柯朗数学研究所轮流讲授泛函分析课程. 如果他还活 着并能批阅本书的手稿, 这本书将会更加完善.
　　感谢 Je. Rosenbluth 和 Paul Cherno. 仔细阅读了本书前面的一些章节; 感谢 Keisha Grady 用 TEX 打印了手稿并做出了最后的修改和订正. 泛函分析课程讲义在柯朗所的研究生中非常受欢迎. 我希望本书保留了原讲义 的精髓. Peter D: Lax 2001 年 11 月于纽约