Loading......

第0章 基础    1
0.1 多项式计算    1
0.2 二进制数    4
0.2.1 十进制到二进制的转换    5
0.2.2 二进制到十进制的转换    5
0.3 实数的浮点表示    7
0.3.1 浮点格式    7
0.3.2 机器表示    10
0.3.3 浮点数的加法    12
0.4 有效数字的损失    15
0.5 微积分回顾    18
第1章 解方程    22
1.1 对分法    22
1.1.1 根隔离法    22
1.1.2 算法的精度和速度    26
1.2 不动点迭代    28
1.2.1 函数的不动点    28
1.2.2 不动点迭代的几何原理    31
1.2.3 不动点迭代的线性收敛性    32
1.2.4 停止准则    37
1.3 精度的界限    40
1.3.1 前向误差和后向误差    41
1.3.2 Wilkinson 多项式    44
1.3.3 求根的灵敏度    45
1.4 Newton 法    49
1.4.1 Newton 法的二次收敛性    50
1.4.2 Newton 法的线性收敛性    53
1.5 不用导数求根    58
1.5.1 割线法及其变形    58
1.5.2 Brent 方法    62
第2章 方程组    67
2.1 高斯消去法    67
2.1.1 基本的高斯消去法    68
2.1.2 运算计数    70
2.2 LU 分解    75
2.2.1 高斯消去法的矩阵形式    75
2.2.2 利用LU 分解的回代过程    78
2.2.3 LU 分解的复杂性    80
2.3 误差的来源    83
2.3.1 误差放大及条件数    83
2.3.2 摆动    89
2.4 PA=LU 分解    92
2.4.1 部分选主元    92
2.4.2 置换矩阵    94
2.4.3 PA=LU 分解    96
2.5 迭代方法    101
2.5.1 Jacobi 方法    101
2.5.2 Gauss-Seidel 方法和SOR    104
2.5.3 迭代方法的收敛性    107
2.5.4 稀疏矩阵计算    108
2.6 共轭梯度法    115
2.6.1 正定矩阵    115
2.6.2 共轭梯度法    116
2.7 非线性方程组系统    .120
2.7.1 多变量Newton 方法    120
2.7.2 Broyden 方法    124
第3章 插值    128
3.1 数据和插值函数    128
3.1.1 Lagrange 插值    129
3.1.2 Newton 均差    131
3.1.3 经过n 个点的d 次多项式有多少个    135
3.1.4 插值编码    136
3.1.5 用近似多项式表示函数    138
3.2 插值误差    142
3.2.1 插值误差公式    142
3.2.2 Newton 形式和误差公式的证明    144
3.2.3 Runge 现象    146
3.3 Chebyshev 插值    149
3.3.1 Chebyshev 定理    149
3.3.2 Chebyshev 多项式    151
3.3.3 区间的改变    153
3.4 三次样条    157
3.4.1 样条的性质    158
3.4.2 端点条件    165
3.5 Bezier 曲线    170
第4章 最小二乘    179
4.1 最小二乘和正规方程    179
4.1.1 不相容方程组    179
4.1.2 数据拟合模型    184
4.1.3 最小二乘的条件作用    188
4.2 模型综述    192
4.2.1 周期数据    192
4.2.2 数据线性化    195
4.3 QR 分解    202
4.3.1 Gram-Schmidt 正交化和最小二乘    202
4.3.2 Householder 反射    208
4.4 非线性最小二乘    214
4.4.1 Gauss-Newton方法    214
4.4.2 带非线性系数的模型    217
第5章 数值微分和数值积分    224
5.1 数值微分    224
5.1.1 有限差分公式    224
5.1.2 舍入误差    228
5.1.3 外推    230
5.1.4 符号微分法和符号积分法    232
5.2 数值积分的Newton-cotes公式    235
5.2.1 梯形法则    236
5.2.2 Simpson 法则    237
5.2.3 复合Newton-Cotes公式    240
5.2.4 开Newton-Cotes方法    242
5.3 Romberg 积分    245
5.4 自适应求积    249
5.5 Gauss 求积    253
第6章 常微分方程    261
6.1 初值问题    261
6.1.1 Euler 方法    263
6.1.2 解的存在性、唯一性和连续性    268
6.1.3 一阶线性方程    271
6.2 初值问题解法分析    .273
6.2.1 局部截断误差和整体截断误差    273
6.2.2 显式梯形方法    277
6.2.3 Taylor 方法    280
6.3 常微分方程组    282
6.3.1 高阶方程    284
6.3.2 计算机模拟：摆    285
6.3.3 计算机模拟: 轨道力学    289
6.4 Runge-Kutta 方法及其应用    294
6.4.1 Runge-Kutta 族    294
6.4.2 计算机模拟：Hodgkin-Huxley 神经元    297
6.4.3 计算机模拟: Lorenz方程    299
6.5 变步长方法    305
6.5.1 嵌入Runge-Kutta对    305
6.5.2 4/5 阶方法    .307
6.6 隐式方法和刚性方程    312
6.7 多步方法    316
6.7.1 生成多步方法    316
6.7.2 显式多步方法    319
6.7.3 隐式多步方法    322
第7章 边值问题    328
7.1 打靶法    328
7.1.1 边值问题的解    328
7.1.2 打靶法的实现    332
7.2 有限差分方法    337
7.2.1 线性边值问题    337
7.2.2 非线性边值问题    340
7.3 配置法与有限元法    .345
7.3.1 配置法    346
7.3.2 有限元和Galerkin方法    348
第8章 偏微分方程    355
8.1 抛物型偏微分方程    .355
8.1.1 前向差分方法    356
8.1.2 前向差分方法的稳定性分析    360
8.1.3 后向差分方法    362
8.1.4 Crank-Nicolson方法    364
8.2 双曲型方程    370
8.2.1 波动方程    370
8.2.2 CFL 条件    373
8.3 椭圆型方程    376
8.3.1 椭圆型方程的有限差分方法    377
8.3.2 椭圆型方程的有限元方法    385
第9章 随机数及其应用    397
9.1 随机数    397
9.1.1 伪随机数    398
9.1.2 指数随机数和正态随机数    403
9.2 蒙特卡罗模拟    405
9.2.1 蒙特卡罗估计的幂定律    406
9.2.2 拟随机数    407
9.3 离散布朗运动和连续布朗运动    412
9.3.1 随机游动    412
9.3.2 连续布朗运动    414
9.4 随机微分方程    417
9.4.1 将噪声引入微分方程    417
9.4.2 随机微分方程的数值方法    420
第10章 三角插值和快速Fourier变换    431
10.1 Fourier 变换    431
10.1.1 复算术    432
10.1.2 离散Fourier变换    434
10.1.3 快速Fourier变换    436
10.2 三角插值    439
10.2.1 DFT 插值定理    439
10.2.2 三角函数的有效求值    443
10.3 FFT 和信号处理    447
10.3.1 正交性和插值    447
10.3.2 用三角函数进行最小二乘拟合    449
10.3.3 声音、噪声和过滤    453
第11章 压缩    459
11.1 离散余弦变换    459
11.1.1 一维离散余弦变换    460
11.1.2 DCT 和最小二乘逼近    462
11.2 二维DCT 和图像压缩    465
11.2.1 二维DCT    465
11.2.2 图像压缩    469
11.2.3 量化    471
11.3 Hu?man 编码    478
11.3.1 信息论和编码    479
11.3.2 JPEG 格式的Hu?man 编码    481
11.4 改进的DCT 和音频压缩    485
11.4.1 MDCT    485
11.4.2 位的量化    491
第12章 特征值和奇异值    497
12.1 幂迭代方法    497
12.1.1 幂迭代    498
12.1.2 幂迭代的收敛性    500
12.1.3 逆幂迭代    501
12.1.4 Rayleigh 商迭代    503
12.2 QR 算法    505
12.2.1 同时迭代    505
12.2.2 实Schur 形式和QR算法    509
12.2.3 上Hessenberg形式    511
12.3 奇异值分解    519
12.3.1 一般情况下求SVD    522
12.3.2 特殊情形：对称矩阵    523
12.4 SVD 的应用    525
12.4.1 SVD 的性质    525
12.4.2 降维    526
12.4.3 压缩    528
12.4.4 计算SVD    529
第13章 最优化    533
13.1 没有导数的无约束最优化    534
13.1.1 黄金分割探索    534
13.1.2 连续抛物线插值法    537
13.1.3 Nelder-Mead搜索    540
13.2 带导数的无约束最优化    543
13.2.1 牛顿法    543
13.2.2 最速下降法    545
13.2.3 共轭梯度法    546
附录A 矩阵代数    551
附录B MATLAB 简介    556
参考文献    563
习题选解(图灵网站下载)