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前言
    本书沿袭了第1版的框架,力图呈现线性代数作为线性空间和线性映射的理论与应用的全貌.为便于理解与计算,书中将向量看成数列、将映射看成矩阵------这不过是还其原貌而已.
    一旦掌握了足够多的线性代数知识, 你就会发现,如果能将一个数学问题化为线性代数的问题, 那么问题多半能迎刃而解.由此可见, 扎实深厚的线性代数背景对学生非常重要. 事实上,合格的本科教学应该为高年级学生开设线性代数提高课程,这正是我编写本书的初衷.此次所做的相当一部分修订也力求使本书更适用于教学,这方面的修订包括：补充了第1版, 尤其是前面章节中过于简短的叙述,增加了练习并且补充了部分练习的答案.
    除此之外, 本版还增加了相当一部分新内容. 例如,给出了利用单位球的紧致性判定赋范线性空间维数有限的准则.新增一章专门讨论求自伴随矩阵本征值的QR算法,补充了将自伴随矩阵化为三对角矩阵的豪斯霍尔德算法,较详细地介绍了戴夫特(Deift)、南达(Nanda)和托梅(Tomei)将收敛的QR算法推广至连续托达(Toda)流的工作,给出了刻画当时间趋于无穷时托达流渐近行为的默泽尔(Moser)定理.
    本书在第1版8个附录的基础上又增加了8个新的附录, 其中,附录9介绍了快速傅里叶变换,附录10利用矩阵的舒尔分解证明了谱半径定理,并且概述了矩阵值解析函数理论, 附录11介绍了洛伦兹群,附录12是有限维空间紧致性判定的一个有趣的应用,附录13刻画了换位子的特征,附录14给出了李亚普诺夫稳定性判定法的一个证明,附录15介绍了如何构造矩阵的若当标准形,附录16给出了卡尔·潘塞(CarlPearcy)关于矩阵数值域的哈尔莫斯(Halmos)猜想的一个极为精致的证明.
    最后是我的一点希望,我始终认为高中数学应该囊括线性代数中最基本的内容,比如只含两三个分量的向量、标量积、向量积、用矩阵描述旋转及其几何应用.当前高中数学课程的改革已经迫在眉睫了.
    在此次修订过程中, 我有幸得到雷·米卡雷克(RayMichalek)的大力帮助, 与艾伯特·诺维科夫(AlbertNovikoff)和查理·佩斯金(Charlie Peskin)的交谈也让我受益匪浅,在此深表谢意. 我还要感谢罗杰·赫恩(Roger Horn)、贝雷斯福德·帕雷特(BeresfordParlett)和杰瑞·加斯旦(Jerry Kazdan)提出了很多很好的意见,感谢杰弗里·赖安(Jeffrey Ryan)帮助完成校对.
                                                                                              彼得 D. 拉克斯
                                                                                              于纽约

第1版前言
    本书是在我多年来为纽约大学柯朗数学研究所一年级研究生授课的讲稿基础上整理而成的.除了面向新入学的研究生, 这门课程也向通过资格考试的本科生开放,间或也有一些非常优秀的高中生来听课,其中就有艾伦$\cdot$艾德尔曼(Alan Edelman),我为能第一个教他线性代数而备感荣幸.  与这门课程一样,这本书的内容除极少部分以外,其余都只需要读者了解线性代数的基本知识, 并没有很高的要求.
    50年前, 线性代数的研究几近沉寂. 然而在过去的50年中,以高速计算机和超大内存的诞生为契机,许多线性代数的新思想、新方法空前爆发,其中包括如何求解线性方程组、怎样实现最小二乘法、如何处理线性不等式以及如何求矩阵的本征值等.线性代数也由此走向了数值数学舞台的中心. 当然,这就对我们今天如何讲授线性代数产生了深远的影响, 其中有好的一面,也有不好的一面.
    许多学生学习线性代数的目的仅仅是为了应用,因此在线性代数课程中引入新的数值方法有一定的好处,它能将新鲜有趣的素材以及新的实际应用带进课堂.  不过,将应用和算法带到前台也会模糊线性代数的理论结构,这是我不愿意看到的.  我认为, 将学生与埃米·诺特(EmmyNoether)和埃米尔·阿廷(EmilArtin)所创建的线性代数理论的伊甸园分隔开来,对学生来说是一种莫大的损失.我编写本书的目的之一就是希望在一定程度上纠正这种不平衡.
    我编写这本书的第二个目的是希望展示丰富多彩的解析成果以及它们的一些应用,包括矩阵不等式、本征值估计和行列式估计等.这些对分析学家和物理学家来说漂亮且十分有用的线性代数内容常常被教材所忽略.
    编写过程中, 对于定理证明的处理, 我尽量选用简短且具启发性的证法.如果同一个问题有两种不同的解决思路, 我也尽可能都列出来.
    全书的内容从目录一览即知. 下面我对材料的选取和处理略作说明.前4章介绍了线性空间和线性变换的抽象理论.为了避免使用一个又一个未加说明的概念, 这部分的证明采用线性结构,还特别引入商空间作为维数计算的工具.  此外,为了让这部分较枯燥的内容变得生动有趣, 我加进了一些非平凡的应用,例如多项式的求积公式、多项式插值、求解离散拉普拉斯方程的狄利克雷问题.
    在第5章中, 行列式被赋予了几何意义------有序单形带符号的体积,由此即可推得行列式的基本代数性质.
    第6章给出了复数方阵的谱理论.本征向量和广义本征向量完备性的证明没有用到本征方程,只依赖于多项式代数的可除理论. 同法我们证得, 矩阵A和矩阵B相似当且仅当对任意复数k和任意正整数m, (A-kI)m与(B-kI})m的零空间都具有相同的维数.这个命题的证明引出了若当标准形的概念.
    欧几里得结构第一次出现是在第7章.第8章中我用它推导出自伴随矩阵的谱理论.书中给出了两种证明：一种基于普通矩阵的谱理论,另一种利用了本征向量和本征值的特征.费希尔(Fischer)的最小最大原理也在这一章中介绍.
    第9章介绍了单变元向量值、矩阵值函数的微积分,这是在本科生教材中不常见到的一个重要内容.这一章最重要的结果是非退化可微矩阵函数的本征值和单位本征向量的连续性及可微性特征,此外还对“错开交叉(avoidedcrossings)”的奇特现象作了简要叙述和解释.
    本书前9章, 或者严格地说前8章, 构成线性代数的核心理论.后8章讨论的则是一些专题, 可以根据教师和学生的兴趣进行取舍.对此我只作非常简要的评论.
    第10章可以说是由矩阵不等式、矩阵本征值不等式以及矩阵行列式不等式汇成的一曲交响乐,其中许多证明要用到微积分知识.
    我用第11章来弥补一般课程中往往缺失的力学内容,揭示了如何利用矩阵描述空间运动.  借助矩阵,刚体运动的角速度、流体向量场的散度和旋度都有极为自然的表示.  此外,利用对称矩阵本征值的单调相关性可知,当弹簧不易弯曲、质点质量减小时, 弹簧振子的固有频率增大.
    第12~14章都围绕凸集概念展开.第12章从度规函数和支撑函数的角度刻画了凸集,这部分的主要工作有：利用哈恩-巴拿赫(Hahn-Banach)过程证明了超平面分离定理,证明了极点的卡拉泰奥多里(Carathéodory)定理并由此导出双随机矩阵的寇尼希-伯克霍夫(Kǎnig-Birkhoff)定理,给出并证明了关于凸集交的黑利(Helly)定理.
    第13章讨论了线性不等式,导出了法卡斯-闵可夫斯基(Farkas-Minkowski)定理并由此证明对偶定理.最后介绍了对偶定理的两个常见的应用------经济学中的最小最大-最大最小问题,以及冯$\cdot$诺依曼(von Neumann)关于双人零和博弈的最小最大定理.
    第14章是关于赋范线性空间的, 除点到线性子空间的距离的对偶特征之外,其余内容并没有很大难度.对赋范线性空间之间的线性映射的讨论放在第15章.
    第16章针对所有元素都是正数的矩阵给出了一个非常漂亮的定理------佩龙(Perron)定理.这一章还介绍了马尔可夫链渐近问题的经典应用,最后证明了非负矩阵本征值的弗罗贝尼乌斯(Frobenius)定理.
    最后一章讨论了迭代求解形如Ax=b其中A为正定的自伴随矩阵)的线性方程组的几种不同方法：导出了一个变分公式,同时对最速下降法予以分析;接下来还给出了基于切比雪夫多项式的两种迭代法,以及基于正交多项式的共轭梯度法.
    对于未能单列一章介绍自伴随矩阵本征值的数值计算, 我感到非常遗憾.因为最近我发现这个问题与一些看似无关的论题之间存在着惊人的联系.
    书后共有8个附录, 补充了一些不适宜放入教材正文的内容.这些结果或者异常惊人, 或者本身就很重要,有必要写进来以引起学生的关注, 它们包括：可以显式求值的特殊行列式、普法夫(Pfaff)定理、辛矩阵、张量积、格、快速矩阵乘法的施特拉森(Strassen)算法、格希高瑞(Gershgorin)定理以及本征值的重数. 除此之外,还有一些论题是本应该归入附录却未能实现的,包括贝克-坎贝尔-豪斯多夫(Baker-Campbell-Hausdorff)公式、克里斯(Kreiss)矩阵定理、数值域以及三对角矩阵的逆.
    书中有很多练习, 其中少数是普通的题目, 大部分都需认真思考,还有一些需要计算.
    书中采用的记号是新古典主义记号.我喜欢用4个字母的盎格鲁-撒克逊(Anglo-saxon)语,比如“into”(到内)、“onto”(到上)以及“1-to-1”(一一),而不用诺曼底(Norman)原来的多音节词.书中每个证明的结尾都用一个空白方格标记.
    我所参考的文献包括常见的书籍, 以及一些新近出版的教材,另外还包括柯朗-希尔伯特1924德文原版未经改动的第1卷------几代数学家和物理学家,包括作者本人, 第一次学习线性代数就是从这本书的第1章开始的.
    感谢柯朗数学研究所的同事以及怀俄明(Wyoming)大学的麦隆·阿伦(MyronAllen)阅读本书手稿, 提出宝贵意见, 并在他们的班级里试讲.我还要感谢康妮·恩格尔(ConnieEngle)和詹尼斯·旺特(Janice Want)细致地录入本书.
    我从理查德·尔曼(RichardBellman)的名著《矩阵分析导引》(Introduction to MatrixAnalys)中学到很多东西, 它对本书的影响是巨大的. 为此,也为了我们自1945年开始一直保持至1984年他逝世那一刻的友谊,我谨以此书缅怀理查德·贝尔曼.

                                                                                                      彼得 D. 拉克斯
                                                                                                      于纽约